Vũ trụ học Hằng_số_vũ

Vũ trụ học Hằng_số_vũ_trụ

Trong mô hình vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng, sự phân bố vật chất và năng lượng trong vũ trụ được mô hình hóa như một chất lỏng lý tưởng, và cấu trúc hình học của nó được miêu tả bẳng mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (mêtric FLRW) và sự tiến hóa động lực của vũ trụ chi phối bởi phương trình Friedmann. Động lực này ảnh hưởng từ thành phần năng lượng trong Vũ trụ và phương trình trạng thái liên hệ giữa mật độ khối lượng và áp suất w = p ρ {\displaystyle w={p \over {\rho }}} . Hằng số vũ trụ học xuất hiện trong những phương trình này theo cách sau, với a(t) là hệ số tỷ lệ của vũ trụ được chuẩn hóa bằng 1 tại thời điểm hiện tại, H = a ˙ a {\displaystyle H={{\dot {a}} \over a}} là hằng số Hubble (dấu chấm trên a thể hiện đạo hàm của nó theo thời gian), và k là độ cong của vũ trụ chuẩn hóa thành +1, 0, và -1 tương ứng với độ cong dương, phẳng, và âm,

H 2 = a ˙ 2 a 2 = 8 π G 3 ρ − k a 2 + Λ 3 {\displaystyle H^{2}={\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {k}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}}}

(8)

a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p ) + Λ 3 {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3p\right)+{\frac {\Lambda }{3}}}

(9)

Những phương trình này được viết một cách cụ thể hơn khi coi hằng số vũ trụ và độ cong dưới dạng mật độ năng lượng ρ Λ = Λ 8 π G {\displaystyle {\rho }_{\Lambda }={\Lambda \over {8\pi G}}} và ρ k = − 3 k 8 π G a 2 {\displaystyle {\rho }_{k}={-3k \over {8\pi Ga^{2}}}}

Các phương trình (8) và (9) trở thành

H 2 = 8 π G 3 ∑ i ρ i {\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\sum _{i}\rho _{i}}

(10)

a ¨ a = − 4 π G 3 ∑ i ( ρ i + 3 p i ) {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\sum _{i}(\rho _{i}+3p_{i})}

(11)

Các thành phần khác nhau có phương trình trạng thái w i {\displaystyle w_{i}} khác nhau, mà xác định lên mật độ của chúng thay đổi như thế nào cùng với sự giãn nở của vũ trụ

ρ i = ρ i 0 a − 3 ( 1 + w i ) {\displaystyle \rho _{i}=\rho _{i0}a^{-3(1+w_{i})}}

(12)

Vật chất không gây áp suất có w = 0 {\displaystyle w=0} , đối với bức xạ có w = 1 3 {\displaystyle w={\frac {1}{3}}} , độ cong có w = − 1 3 {\displaystyle w=-{\frac {1}{3}}} , hằng số vũ trụ có w = − 1 {\displaystyle w=-1} (chúng ta sử dụng w Λ = − 1 {\displaystyle w_{\Lambda }=-1} và rút ra được ρ Λ + 3 p Λ = − 2 ρ Λ {\displaystyle \rho _{\Lambda }+3p_{\Lambda }=-2\rho _{\Lambda }} từ phương trình (11))

Mật độ hiện tại của mỗi thành phần, ρ i 0 {\displaystyle \rho _{i0}} thường được biểu diễn bằng tỷ lệ với mật độ giới hạn ρ c = 3 H 0 2 8 π G {\displaystyle \rho _{c}={\frac {3{H_{0}}^{2}}{8\pi G}}} , đó là mật độ đòi hỏi để vũ trụ là phẳng (như được tính toán tại thời điểm hiện tại). Ký hiệu tỷ số này là Ω i = ρ i 0 ρ c {\displaystyle \Omega _{i}={\frac {\rho _{i0}}{\rho _{c}}}} và sử dụng phương trình (12) cho phép viết được

H 2 = H 0 2 ∑ i ρ i ρ c = H 0 2 ∑ i Ω i a − 3 ( 1 + w i ) = H 0 2 ( Ω R a − 4 + Ω M a − 3 + Ω k a − 2 + Ω Λ ) {\displaystyle H^{2}={H_{0}}^{2}\sum _{i}{\frac {\rho _{i}}{\rho _{c}}}={H_{0}}^{2}\sum _{i}\Omega _{i}a^{-3(1+w_{i})}={H_{0}}^{2}(\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{k}a^{-2}+\Omega _{\Lambda })}

(13)

trong đó Ω R , Ω M , Ω k , Ω Λ {\displaystyle \Omega _{R},\Omega _{M},\Omega _{k},\Omega _{\Lambda }} lần lượt là tỷ số giữa mật độ bức xạ, mật độ vật chất (baryon và tối), mật độ độ cong không gian và mật độ năng lượng tối so với mật độ giới hạn.

Để áp suất sinh công cần phải có một gradien áp suất—một vùng áp suất tương đối cao nằm gần một vùng áp suất tương đối thấp—điều này sẽ là nguyên nhân gây chuyển động từ áp suất cao đến áp suất thấp. Trong một vũ trụ đồng nhất sẽ không có gradien áp suất, vì thế một áp suất dương sẽ không sinh công và không có hiệu ứng giãn nở (không có những vùng áp suất thấp để có thể đẩy vật chất vào vùng đó). Ngược lại, trong thuyết tương đối rộng mọi dạng năng lượng đều tạo ra trường hấp dẫn vì thế áp suất càng lớn càng làm trường hấp dẫn mạnh thêm (lực hấp dẫn trở lên mạnh hơn) (p xuất hiện trong phương trình (9) mà không thể xảy ra như ở thuyết hấp dẫn của Newton). Trong trường hợp năng lượng chân không, ta có w = − 1 {\displaystyle w=-1} và p Λ = − ρ Λ {\displaystyle p_{\Lambda }=-\rho _{\Lambda }} hay năng lượng chân không có vai trò như một áp suất âm, đóng góp tương đối tính tổng quát của nó chống lại lực hấp dẫn thông thường, gây ra một sự giãn nở không thời gian - tức đạo hàm bậc hai của a(t) là a ¨ {\displaystyle {\ddot {a}}} có giá trị dương hay tương đương a ˙ {\displaystyle {\dot {a}}} tăng theo thời gian t.[11]

Ngoài ra, cũng trong phương trình (9) cả mật độ năng lượng ρ {\displaystyle \rho } và áp suất p {\displaystyle p} là nguyên nhân gây tốc độ giãn nở của vũ trụ a ˙ {\displaystyle {\dot {a}}} giảm dần, tức là cả hai làm giảm tốc sự giãn nở của vũ trụ. Đây là hệ quả của lực hấp dẫn, với áp suất đóng vai trò tương tự như của mật năng lượng (hay khối lượng), theo như các nguyên lý của thuyết tương đối rộng. Mặt khác, hằng số vũ trụ, khi có giá trị lấn át mật độ năng lượng và áp suất gây ra sự giãn nở gia tốc của vũ trụ.